Tio Petros

Acabo de leer en el Diario Vasco que Iker Jiménez va a dar una charla sobre OVNIs en la UPV.

Analizando un poco la cuestión, no creo que el tema de los OVNI sea un tema imposible de tratar en suelo universitario. Nada de eso. Tampoco creo que los temas a tratar en la universidad deban estar circunscritos a una serie de áreas prefijadas. Tampoco es eso.

Lo que pienso es simplemente que un acto en el auditorio del campus de una universidad cualquiera debe ser un acto que cumpla unas características mínimas de rigor y seriedad; que los responsables de la universidad deben velar porque se respete la libertad de expresión a la vez que se vela por el derecho a una información veraz, contrastada, real; y en este caso no va a ser así. Cualquiera que haya leido algo escrito por el ponente sabe que eso no va a ser así. Pienso que la universidad está para alejar los fantasmas, para hacer luz de las tinieblas y no para lo contrario.

Cuando la noticia es así:

Iker Jiménez, director del programa radiofónico Milenio3, que trata de variados fenómenos paranormales, junto a la subdirectora del programa, Carmen Porter, ofrecerán una charla coloquio sobre los más fascinantes enigmas tratados por ellos. La charla, organizada por El Diario Vasco, será presentada por el periodista...


como decía, cuando la noticia es así, uno no tiene la menor duda de lo que va a producirse: la magufería elevada a la enésima potencia, con el agravante de una presunta pátina de respetabilidad añadida por el entorno universitario en el que se produce.

Huelga definir el nivel de credibilidad que nos produce Iker Jiménez, su programa Milenio3 y la charla en cuestión, que se producirá media hora después de escritas estas palabras.

Una vez más, los amigos de lo paranormal podrán exhibir el gol una y otra vez: "nuestras "teorías" tienen cabida en la universidad". Como augurando el cariz del asunto,la noticia del acto lleva como titular: FENOMENOS PARANORMALES EN LA UPV

En fin, que aunque la cosa no es demasiado importante, no es precisamente una buena noticia.

Dos páginas más adelante en el mismo periódico un señor llamado José María Mainat , al frente de la productora Gestmusic exclama:

Llamar basura a un programa de éxito es insultar a todo su público

Yo no sé si el Sr. Mainat es un imbécil o un listo. Posiblemente lo segundo. La frase, así redactada, pudiera querer decir que un programa por ser de éxito no puede ser basura. En ese caso el Sr. Mainat sería imbecil sin remedio, a no ser que mintiera descaradamente, en cuyo caso sería un listo en la peor acepción de la palabra. O pudiera querer decir que si un programa es de éxito y a la vez basura, entonces el público es digno de ser insultado afirmando que es una basura aquello que le entusiasma.

Eso me parece más correcto, o al menos más cercano a la verdad, pero no creo yo que ese fuera el sentido que el sr. Mainat haya querido dar a la frase.

En todo caso, me parece claro que la mierda está de moda, y no por ello deja de ser mierda. Tenemos mierda en le televisión, y hoy tenemos mierda en la UPV, y seguirá siendo mierda aunque se llene hasta la última butaca del auditorio del campus; que habrá conocido momentos más dignos.

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Es increíble que un concepto que en la vida real sea tan simple de entender como el concepto de “tamaño” sea tan difícil de aprehender desde la matemática.

En una primera aproximación, si hablamos de conjuntos parece que entre dos de ellos es fácil decidir cuál es más grande: no hay más que establecer una correspondencia biyectiva entre ambos, o al menos intentarlo. Si lo conseguimos, habremos conseguido emparejar a cada elemento del primer conjunto con uno y sólo un elemento del segundo, por lo tanto ambos conjuntos tendrán el mismo número de elementos. Lo bueno de este método es que no hace falta construir efectivamente la biyección uno a uno , sino que basta con demostrar que existe.

No obstante, aquí se acaban las buenas noticias. La idea anterior nos da un buen criterio de igualdad de tamaño en cuanto a cardinalidad, o a número de elementos entre dos conjuntos. Dado que un conjunto no es sino eso: una colección de elementos, uno podría preguntarse qué más queremos.

Pues queremos bastante más. La cardinalidad es una buena idea para medir conjuntos finitos: un conjunto de 1000 elementos es mayor que uno de 999 elementos; pero entre dos conjuntos de infinitos elementos la cosa es más complicada: ¿dos conjuntos infinitos de la misma cardinalidad tienen el mismo tamaño?

El lector debiera darse cuenta de que estoy haciendo trampa con la pregunta anterior. Estoy preguntando por el tamaño de dos conjuntos como si el concepto estuviera aclarado, y no lo está. La existencia del concepto tamaño parece llevar consigo la existencia de una relación de orden entre conjuntos, de manera que podamos decir que uno que otro o si ambos son del mismo tamaño .

Podemos demostrar que la cardinalidad no es una buena idea para comparar tamaños por la simple existencia de conjuntos de igual cardinalidad y “tamaños” diferentes.

Consideremos los intervalos [0,1] y [0,2]. Ambos tienen la misma cardinalidad, la del continuo. En efecto, es muy sencillo emparejar cada elemento de [0,1] con uno y sólo uno de los elementos de [0,2], simplemente haciéndolo corresponder con su doble. Así de sencillo. Si no nos sorprende es por que lo sabemos desde niños, no porque no sea sorprendente.

Así pues, tenemos una nueva manera de comparar “tamaños” entre conjuntos cuando la cardinalidad no es buena guía: la medida de lebesgue de los mismos.

Cuando hablábamos de variables aleatorias definimos la medida de Lebesgue: en el seno de una sigma-álgebra, y dijimos que la medida de un intervalo [a,b], ó (a,b) ó (a,b] ó [a,b) es el número real m=b-a.

Ahora se ve que desde esta perspectiva los intervalos [0,2] y [0,1] son de medida diferente, a pesar de tener la misma cardinalidad. Uno es el doble del otro más concretamente.

Como un punto p equivale al intervalo [p,p], queda claro que la medida de cualquier punto es m = p-p = 0.

Cualquier conjunto finito de puntos tendrá asimismo medida nula. Es más, cualquier conjunto numerable de puntos la tendrá nula también, pues por propiedad de las sigma-álgebras, la medida de una unión numerable es la suma de las medidas, y una suma numerable de ceros es cero.

Así pasaba con el conjunto Q, que tratamos cuando hablábamos de la insoportable levedad del conjunto Q; era denso en R , y exhibía una curiosa propiedad que parecía (falsamente) hacerlo igual de grande que todo R: entre dos puntos de Q siempre había uno de R ( en realidad infinitos). Pero también era cierto lo contrario: entre dos puntos de R siempre había infinitos de Q.

A pesar de este quid procuo , veíamos que Q no era sino polvo fractal dentro de R, y que su medida era cero. Q era ubícuo en R, pero era numerable (otra sorpresa dilucidada por Cantor y muchas veces comentada aquí), y medía excatamente cero.

Lo que no está nada claro es qué ocurre cuando el conjunto es una unión no numerable de puntos. Dado que un intervalo es precisamente eso, y que tiene medida no nula, sabemos que ciertos conjuntos infinitos (respecto a su cardinalidad) no numerables son de medida no nula. ¿Pero lo serán todos?

La intuición nos indica que así es.

Sin embargo, la intuición es tan mala consejera en matemáticas...

Seguiremos en el próximo post mostrándoles un conjunto con cardinalidad infinita no numerable que, a pesar de ello tiene medida cero, el conjunto de Cantor . Lo cual nos hará ver que la relación entre medida y cardinalidad es complicada, y que debemos abandonar para siempre la idea preconcebida de que podíamos imaginar un concepto de “tamaño” que fuera siempre satisfactorio para comparar varios conjuntos.

Se mezclarán en este nuevo paseo otros conceptos importantísimos como el de dimensión .

Pero no adelantemos acontecimientos.

El que esto escribe tiene una nivel extremadamente bajo en patriotismo, pero cuando se entera de ciertos esfuerzos, se le llena el pecho de satisfacción.

Eso he sentido hoy al enterarme de que

“Con el objetivo de ofrecer acceso público a un fondo bibliográfico, anterior al siglo XIX y de gran valor para la historia de la ciencia y de las humanidades, así como de la propia institución, la Universidad de Sevilla ha comenzado un ambicioso proyecto de digitalización de su fondo antiguo, así como de documentos de su Archivo Histórico. De esta manera la Biblioteca facilita la disponibilidad de sus recursos a la vez que contribuye a la difusión y conservación de su colección bibliográfica y documental.”

Tras un rato navegando por el fondo, accesible desde esta dirección:
no puedo dar crédito a mis ojos. Estoy entusiasmado y no puedo menos que comentarlo.

Vayan, vayan y disfruten. Que el hecho de que todo sea gratis no disminuya el valor inmenso que tiene que cualquiera podamos saborear estos hermosísimos textos desde nuestra casa. Bien por la Universidad de Sevilla, y por todos los hayan tenido algo tengan que ver con esta divulgación de la cultura.

Vamos a dedicar este post a la nada desdeñable tarea de demostrar que un subconjunto dey intervalo de la recta [0,1] puede tener medida de Lebesgue igual a ceo, a pesar de tener la misma cardinalidad que el intervalo completo [0,1].

Lo haremos de la forma más expeditiva posible: mostrando un conjunto concreto que tenga dichas propiedades. Puede resultar chocante, pero nada de lo que aquí se va a decir es nuevo: todo está muy claro y aceptado desde hace más de un siglo. Pero sirve para comprender que la relación entre cardinalidad y medida es tortuosa: podemos afirmar que un conjunto de cardinalidad numerable tiene medida cero, pero no podemos afirmar que tenga medida mayor que cero por el hecho de tener cardinalidad infinita no numerable.

El conjunto en cuestión, como ya avanzamos hace dos posts, es el conjunto de Cantor .

Se forma a partir del intervalo [0,1], y es el conjunto límite de un proceso infinito que consiste en dividir el cada intervalo del conjunto anterior en tres partes iguales y eliminar la central.

Como podemos ver en la figura, partiendo del intervalo C₀ = [0,1] tenemos la división [0,1/3]; [1/3,2/3]; [2/3,1]. Eliminando la central, tenemos el conjunto C₁ = [0,1/3] U [2/3,1].

Este nuevo conjunto está formado por dos intervalos, que divididos en tres partes y eliminada la central, dará paso a C₂; y así sucesivamente.

Pues bien, el conjunto de Cantor es el límite del proceso, y lo llamaremos C .

Nuestra tarea, ahora que está perfectamente definido el objeto es doble: demostrar que tiene la cardinalidad del original [0,1], y demostrar que tiene medida cero.

Comenzaremos por lo segundo.

DEMOSTRACIÓN DE MEDIDA NULA DEL CONJUNTO DE CANTOR

Esta demostración es una tontería al alcance de cualquiera que sepa sumar series geométricas. Dado que los trozos que vamos quitando en las sucesivas etapas son disjuntos (obviamente), podemos sumar la medida total que sustraemos (llamémosla A) simplemente sumando las medidas individuales de los trocitos que vamos quitando en cada etapa, por la aditividad de la medida de Lebesgue.

En la primera etapa quitamos un trozo que mide 1/3, en la segundo dos trozos que miden 1/9 cada uno, y así sucesivamente. El desarrollo completo lo tenemos aquí:



Vemos que la medida sustraída es la unidad, luego invocando una vez más la aditividad, la medida del conjunto de Cantor es exactamente cero.

Para deducir la cardinalidad del mismo he encontrado en la web una demostración impecable, que explico a continuación:

DEMOSTRACIÓN DE CARDINALIDAD INFINITO NO NUMERABLE

Verificaremos la existencia de una biyección entre los puntos del conjunto de Cantor y el intervalo [0,1].

Para ello, expresaremos los puntos en base tres. La expresión decimal en base 3 de un número del intervalo [0,1] será de la forma 0,0XXXX... cuando pertenece al primer tercio del intervalo; 0,1XXX... cuando pertenece al segundo y 0,2XXX cuando pertenece al tercero. Eliminar el tercio central en la primera etapa es simplemente eliminar todos los puntos que tienen un 1 en su primer decimal.

De la misma manera, el segundo decimal será 0,1 ó 2 si el número (o punto ) correspondiente pertenece al primer tercio, segundo o tercero de cualquiera de los dos intervalos existentes en la segunda fase. El proceso de eliminación de los dos subintervalos centrales no es sino eliminar los puntos que tengan un 1 en su segundo decimal.

Prosguiendo así, resulta que nos quedamos con todos los puntos que en su expresión decimal no tengan sino ceros o doses. Cualquier número real de la forma 0,200002222020220022022.. pertenece al conjunto de Cantor.

La biyección es ahora la siguiente: a cada número en base tres del conjunto de Cantor le hacemos corresponder un número en base dos resultante de cambiar los doses por unos. Es evidente que se trata de una biyección, pero ahora el conjunto imagen es el intervalo [0,1] completo, pues cualquiera de sus puntos se expresa como una combinación concreta de ceros y unos en su expresión decimal binaria.
Así pues, y a pesar de toda la intuición en contra, tenemos nuestro resultado: no basta que un conjunto tenga la potencia del contínuo para que tenga medida mayor que cero.

Esta bitácora ha sido incluida en un listado de Terra
de diez bitácoras de ciencia(en el ámbito español).

No es meramente la inclusión en dicha lista, sino sobre todo la calidad extraordinaria de las otras nueve , todas ellas viejas y queridas amigas, lo que me hace sentir esta inclusión como un regalo inmerecido.

No me importa en absoluto hacer publicidad sobre novedades editoriales. Cuando estas se convierten en acontecimientos culturales, menos aún.

El próximo lunes día 23 de mayo, a las 11:00 de la mañana, se presentará en el Planetario de Madrid "Historia de un átomo", del destacado astrófísico
norteamericano Lawrence Krauss, que es también autor de varios títulos de divulgación científica de gran éxito. Hablarán la directora del
Planetario de Madrid, Asunción Sánchez, el director del Planetario de Pamplona, Javier Armentia, y el propio autor del libro, Lawrence Krauss. Es evidente que con esa compañía, el acto será de lo más interesante.

"Historia de un átomo" es el primer título de la colección de divulgación científica "Las dos culturas" que publica Editorial Laetoli en colaboración con la
Universidad Pública de Navarra.

En la publicidad que he recibido sobre el libro pone textualmente:

Somos, literalmente, hijos de las estrellas. Todos los átomos de nuestros cuerpos estuvieron alguna vez en el infierno de una estrella en explosión. Cada uno de ellos ha vivido innumerables y agitadas vidas. Estaban ahí en el comienzo de los tiempos y sobrevivirán a la desaparición de la Tierra y el sistema solar. El átomo de oxígeno que usted respira ahora pudo haber sido parte del último aliento de César o de la primera criatura que caminó sobre nuestro planeta. Lawrence Krauss traza en este libro magistral no sólo la historia de un átomo de oxígeno —desde su formación tiempo después del Big Bang y su paso por la aventura de la vida en la Tierra hasta perderse en la eternidad— sino con él la historia de todo el universo: nuestra historia.

«Lawrence Krauss tiene la habilidad de Carl Sagan de expandir la imaginación y explicar los misterios del universo en términos muy simples» (Stephen Hawking)

«Krauss es un magnífico escritor y éste es su mejor libro: una intensa panorámica de los nexos de unión entre el cosmos y el microcosmos y de la compleja cadena de acontecimientos que condujeron de los átomos a la vida» (Martin Rees)

«Sobrepasando incluso la visión de Blake del mundo en un grano de arena, Krauss ofrece a sus lectores el cosmos entero en un solo átomo» (Bryce Christensen, Booklist)

«Krauss teje una historia que se lee de manera tan absorbente como una buena novela» (Scientific American)

Lawrence Krauss es profesor de Física y Astronomía y director del Departamento de Física de la Case Western Reserve University en Esta-dos Unidos. Krauss es el único científico que ha sido galardonado con el Premio al conocimiento científico público de la Sociedad para el Avance de la Ciencia de EE UU (2000), el Premio Julius Edgar Lilienfeld de la Sociedad Norteamericana de Física (2001) y el Premio Andrew Gemant del Instituto de Física de EE UU (2001). Entre sus libros más conocidos se encuentran sus dos best sellers The Physics of Star Trek y Beyond Star Trek, Miedo a la física y La quinta esencia. Historia de un átomo ha sido traducido al alemán, italiano, holandés, portugués, finlandés, coreano y chino.


Ficha del libro:

Historia de un átomo
Una odisea desde el Big Bang hasta la vida
en la Tierra... y más allá

Lawrence M. Krauss

Traducción de Francisco Páez de la Cadena

Colección Las dos culturas, 1
328 páginas
PVP: 18,00 e
ISBN: 84-933698-3-7

Acabo de ver un extracto del festival de Eurovisión que, por lo visto debió celebrarse ayer sábado. Comprendo perfectamente que este festival haya perdido todo su interés. Canciones enlatadas, países prostituyendo sus raíces músicales tradicionales en beneficio de una banalidad absoluta, renunciando a sus propias lenguas para cantar casi invariablemente en inglés... en resumen: varianza nula.

No sólo era imposible saber qué país era el que interpretaba en cada momento, sino que era igualmente imposible saber si se trataba de una canción actual o de hace años.

La variabilidad es lo que da interés a las cosas. La uniformidad es la muerte de la cultura, del arte y de la vida. Hasta los cuerpos de las cantantes exhibían una varianza cero.

Vaya mierda...

Hace cierto tiempo hablábamos del teorema de Pick, y comentábamos que sobre una simple cuadrícula se pueden hacer muchas matemáticas. Hoy me encontrado con un teorema sencillo, a modo de divertimento, que les propongo.
Se trata de ver si puede existir un triángulo equilátero cuyos vértices estén sobre los puntos de una cuadrícula dada. Así de escueto.
Les espero.

Vamos a exponer una de las posibles demostraciones de que es imposible dibujar un triángulo equilátero con vertices en los puntos de una cuadrícula, como exponíamos en el post anterior. Como bien ha sido expuesto en los comentarios de ese post, la cuadrícula se supone ortogonal. Cada lado de la cuadrícula elemental se toma como unidad de medida.

En la ilustración que encabeza el presente post se demuestra que el área de un triángulo equilátero, es raíz de tres cuartos del cuadrado del lado.

El cuadrado del lado es siempre un número entero por aplicación directa del teorema de pitágoras, y en tales circunstancias, el área de un triángulo equilátero sobre la cuadrícula será siempre un número irracional por la presencia de la raiz de tres.

Ahora bien, todo triángulo con vértices sobre la cuadrícula tiene área racional. Para demostrarlo, dibujemos el menor cuadrilátero en la cuadrícula que contenga completamente a dicho triángulo. Son posibles dos casos: que el triángulo tenga sus tres vértices en la frontera del cuadrilátero mínimo que lo contiene, o que tenga sólo dos. Ver la ilustración siguiente:



En el primer caso, el area sobrante se divide en tres triángulos rectángulos; en el segundo en tres triángulos rectángulos más un cuadrilátero menor. El área de los triángulos rectángulos de en la cuadrícula es siempre racional, por ser su área base por altura entre dos, siendo tanto la base como la altura horizontales y verticales de la cuadrícula, y por lo tanto enteros. El área del subcuadrilátero será no sólo racional, sino entera, por ser el producto de dos enteros (base y altura).

Dado que el área del cuadrilátero que contiene al triángulo también es entera, restando áreas obtenemos que en todo caso un triángulo dibujado en una cuadrícula tiene área racional.

Por lo tanto nunca un triángulo equilátero podrá ser dibujado sobre la cuadrícula.

Esta no es sino una de las posibles demostraciones.

La serie de posts que se inician con éste ha sido elaborada para TioPetros por Lola Cárdenas Luque, con quien compartimos pasión por la matemática y por el pensamiento crítico. De una manera lúdica nos irá introduciendo en los conceptos más importantes de la aritmética modular y de las reglas de divisibilidad. Les dejo con Lola, que es lo mismo que decir que les dejo en muy buenas manos.


Empecemos con el truco

Piensa un número de tres cifras. Por ejemplo, 123. Copia ese número detrás de sí mismo, para obtener con eso un número de seis cifras. A mí me queda 123123. Mi número está amañado para que me salga el truco, pero el tuyo no tiene por qué estarlo, aún no sabes qué te voy a decir que hagas con él.

Ahora divide ese número de seis cifras por 13. Yo también voy a hacerlo, y el cociente ha sido 9471. Qué curioso, la división ha salido exacta. Pues vamos a aprovecharlo. Seguro que a ti también te ha salido exacta.

Puedo verlo. Así que ahora divide ese cociente por... vamos a ver... vale, ya lo sé. Divídelo por 7.

Yo también dividiré mi 9471 por 7. Me sale 1353. Vaya, y otra vez la división exacta.

Es más, estoy convencida de que a ti también te ha salido exacta. ¿Probamos a dividir por un número más? Esta vez vamos a dividir el cociente obtenido por... hm... déjame concentrarme en tu número... Sí, ya lo veo claro. Vamos a dividir ese cociente por 11. Es más, antes de que hagas la división, te voy a decir el resultado. Te va a salir el número que has pensado al principio.

Voy a ver qué sucede con el mío. Divido 1353 entre 11 y obtengo... ¡123! ¡El número que he elegido al principio! ¿Sorprendido? Pues eso no es todo.

Ahora invierte el número de seis cifras. En mi caso quedaría 321321. Voy a decirte algo que te va a sorprender más aún: ese número que queda al invertir, también es un múltiplo exacto de 13. Y de 7. Y de 11. En este punto podría decir que he leído tu mente y he sabido, tras un rápido cálculo mental, que entre sus divisores estaban el 13, el 7 y el 11.

Es más, podría decir incluso que he intervenido en tus pensamientos para que eligieras un número de manera que, al darle la vuelta, también saliera múltiplo de 13, 7 y 11. Pero no voy a hacerlo. En lugar de eso, voy a explicarte el truco.