Tio Petros
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Se muestran los artículos pertenecientes a Octubre de 2005.
A veces una respuesta puede ser impecablemente cierta, y sin embargo insatisfactoria. Ese es el caso del alumno que respondíó en esta pregunta de examen. PD.- Ese es también el caso de TioPetros cuando le preguntan porqué lleva un mes sin actualizar la bitácora. Tengo mil motivos, todos válidos pero todos insatisfactorios. Espero poder volver en breve con todos ustedes. Por cierto; las visitas no dejan de subir desde que no escribo. Realmente, no sé cómo tomármelo... Lo siguiente es una colaboración de Jorge Alonso, habitual en el blog. Es una serie de dos posts, en la que nos explica cómo encontrar el siguiente término de una sucesión, dados unos términos iniciales. Un conocido pasatiempo consiste en, dada una serie de números,averiguar cuál es el siguiente, cumpliendo el orden lógico de la serie. Segundo post de la serie, a cargo de Jorge Alonso. 26/10/2005
Respuestas ciertas, pero insatisfactorias
27/10/2005
Siguiente término de una sucesión (1/2)
Por ejemplo, si la serie es
1, 3, 5, 7, 9
el siguiente término es 11, ya que se trata de una sucesión de número impares. El término general de esta serie puede escribirse como
f(n) = 2n - 1
valiendo n sucesivamente los valores 1, 2, 3, 4...
Otro ejemplo es
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
en el que cada término es la suma de los dos precedentes, comenzando por 0 y 1. Puede expresarse esta serie como
f(0) = 0
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
Veamos un ejemplo más:
1, 1, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16, 5
Parece más difícil, pero basta un truco para hayar la lógica: separar la serie en dos, tomando términos alternos:
1, 2, 4, 8, 16
1, 2, 3, 4, 5
Por tanto, el siguiente término es 32. El término general es:
2^((n-1)/2) si n es impar
n/2 si n es par
Sin embargo, siempre puede encontrarse otra lógica distinta a los números de la serie, con lo que el siguiente término sería otro distinto. Y esto puede hacerse de forma que el siguiente término sea el que nosotros queramos que sea.
Sea, por ejemplo, la sucesión
0, 1, e, pi
queremos que el siguiente término de la serie sea i, ¿cómo podremos lograrlo?28/10/2005
Siguiente término de una sucesión (2/2)
En uno de sus libros, John Allen Paulos comenta de pasada un método para hayar una ley matemática que haga que el siguiente término de la sucesión sea el que queramos que sea. La clave se encuentra en que la serie de partida es una serie finita.
Para evitar una explicación farragosa, partamos de una serie inicial de tres términos
a, b, c
en la que queremos que el siguiente término sea d.
El término general será f(n); partamos de
f(n) = a + b + c
Cuando n = 1, esta expresión debe valer a, por lo que multiplicamos a los valores b y c por unos ceros camuflados:
f(n) = a + b(n-1) + c(n-1)
Para n = 2, debe cumplirse que f(2) = b
f(n) = a(n-2) + b(n-1) + c(n-1)(n-2)
Y lo mismo para n = 3:
f(n) = a(n-2)(n-3) + b(n-1)(n-3) + c(n-1)(n-2)
Aún no hemos acabado, ya que, por ejemplo, para n = 2 no obtenemos
f(2) = b, sino
f(2) = b(2-1)(2-3)
por lo que hay que dividir cada término por factores correctores:
f(n) = a(n-2)(n-3)/(1-2)(1-3) +
+ b(n-1)(n-3)/(2-1)(2-3) +
+ c(n-1)(n-2)/(3-1)(3-2)
Ahora sí que hemos obtenido una expresión f(n) que cumple con los términos iniciales. De forma análoga, podemos añadir nuestro nuevo término d:
f(n) = a(n-2)(n-3)(n-4)/(1-2)(1-3)(1-4) +
+ b(n-1)(n-3)(n-4)/(2-1)(2-3)(2-4) +
+ c(n-1)(n-2)(n-4)/(3-1)(3-2)(3-4) +
+ d(n-1)(n-2)(n-3)/(4-1)(4-2)(4-3)
Sabiendo este truco matemático ya no habrá serie que se nos resista, ni siquiera las que aparecen en los test de inteligencia.
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