Tio Petros

Viene de aquí 

Pero la arena no escapa de ser contada, como Arquímedes reconoció en el tercer siglo A.C. Así es como él empezó El contador de arena, una especie de artículo de ciencia popular enviado al rey de Siracusa:

Este Arquímedes procedió a hacer, esencialmente mediante el uso del antiguo término griego miríada, que significa diez mil, la base de los exponenciales. Adoptando el presciente modelo cosmológico de Aristarco, en el cual la "esfera de las estrellas fijas" es inmensamente mayor que la esfera en la que la Tierra gira alrededor del sol, Arquímedes obtuvo un límite superior de 10⁶³ del número de granos de arena necesarios para llenar el universo. (Supuestamente 10⁶³ es el mayor número con un nombre lexicográfico estándar americano: vigintillion (*). Pero el serio vigintillion tiene que velar para no ser usurpado por el más caprichosamente nombrado googol, o 10¹⁰⁰, y googolplex, o 10^{10^100}.) Vasto es, por supuesto, pero 10⁶³ no es elevado a los altares del mayor número de todos los tiempos. Seis siglos después, Diofanto desarrolló una notación más simple para los exponenciales, permitiéndole sobrepasar 10^{10^10^10^10}. Entonces, en la edad media, el alzamiento de los numerales árabes y el posicionamiento decimal hicieron fácil apilar exponenciales todavía mayores. Pero el paradigma de Arquímedes para expresar grandes números no fue fundamentalmente superado hasta el siglo veinte. E incluso hoy, los exponenciales dominan la discusión popular de lo inmenso.

Considera, por ejemplo, la a menudo repetida leyenda del gran visir de Persia que inventó el ajedrez. El rey, como dice la leyenda, quedó encantado con el nuevo juego, e invitó al visir a pedir su propia recompensa. El visir replicó que, siendo un hombre modesto, sólo deseaba un grano de trigo por el primer cuadro del tablero, dos granos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente, con dos veces más granos por cuadro que el anterior. El anumérico rey consintió, sin darse cuenta que el número total de granos por todas las 64 casillas sería 2⁶⁴-1, or 18,4 trillones... equivalente a la actual producción mundial de trigo durante 150 años.

Apropiadamente, es este crecimiento exponencial lo que hace al propio ajedrez tan difícil. Hay solamente sobre 35 elecciones lícitas en cada movimiento ajedrecístico, pero las elecciones se multiplican exponencialmente hasta producir sobre 10⁵⁰ posibles posiciones en el tablero... demasiados incluso para que un ordenador las busque exhaustivamente. Eso es por lo que se tardó hasta 1997 que un ordenador, Deep Blue, derrotase al campeón mundial humano de ajedrez. Y en el Go, que tiene un tablero de 19×19 y sobre 10¹⁵⁰ posibles posiciones, incluso un humano aficionado todavía puede derrotar los programas número uno del mundo. El crecimiento exponencial infecta los ordenadores también en otras guisas. El problema del viajero pregunta por la ruta más corta que conecte un conjunto de ciudades, dada la distancia entre cada par de ciudades. Lo irritante es que el número de rutas posibles crece exponencialmente según el número de ciudades. Cuando hay, digamos, un ciento de ciudades, hay sobre 10¹⁵⁸ rutas posibles, y, aunque son posibles varios atajos, ningún algoritmo computacional conocido es fundamentalmente mejor que probar una a una cada ruta. El problema del viajero pertenece a una clase llamada NP-completa, que incluye cientos de otros problemas de interés práctico. (NP representa el término técnico `tiempo polinomial no determinístico’.) Es sabido que si hay un algoritmo eficiente para cualquier problema NP-completo, entonces hay algoritmos eficientes para todos ellos. Aquí `eficiente’ significa usando una cantidad de tiempo proporcional al tamaño máximo del problema elevado a alguna potencia fija, por ejemplo, el número de ciudades al cubo. Sin embargo, se conjetura que no existe ningún algoritmo eficiente para los problemas NP-completos. La prueba de esta conjetura, llamada P≠NP, ha sido un gran problema irresuelto de la ciencia computacional durante treinta años.

Aunque los ordenadores probablemente nunca resolverán los problemas NP-completos eficientemente, hay más esperanza por otro grial de la ciencia computacional: la replicación de la inteligencia humana. El cerebro humano tiene aproximadamente cien mil millones de neuronas conectadas mediante cien billones de sinapsis. Y aunque la función de una neurona individual es sólo parcialmente entendida, se piensa que cada neurona despide impulsos eléctricos según reglas relativamente simples hasta mil veces por segundo. Así que lo que tenemos es un ordenador altamente interconectado capaz de quizá 10¹⁴ operaciones por segundo; en comparación, el más rápido superordenador paralelo del mundo, el 9200-Pentium Pro teraflops machine en Sandia National Labs, puede ejecutar 10¹² operaciones por segundo. Contrariamente a la creencia popular, la materia gris no sólo está cableada para la inteligencia: sobrepasa al silicio incluso en puro poder computacional. Pero es improbable que esto permanezca cierto durante mucho tiempo. La razón es la ley de Moore, que, en su formulación de 1990, expresa que la cantidad de información almacenable en un chip de silicio crece exponencialmente, doblándose aproximadamente una vez cada dos años. La ley de Moore finalmente quedará fuera de juego, cuando los componentes del microchip alcancen la escala atómica y la litografía convencional vacile. Pero radicales nuevas tecnologías, tales como ordenadores ópticos, ordenadores de ADN, o incluso ordenadores cuánticos, podrían concebiblemente usurpar el lugar del silicio. El crecimiento exponencial en la potencia computacional no puede continuar para siempre, pero podría durar lo suficiente para que los ordenadores (al menos en poder de procesamiento) sobrepasen al cerebro humano.

Para los pronosticadores de la inteligencia artificial, la ley de Moore es un glorioso heraldo del crecimiento exponencial. Pero los exponenciales también tienen su lado más sombrío. Recientemente la población humana pasó de los seis mil millones y se duplica cada cuarenta años aproximadamente. A esta razón exponencial, si una persona media pesa setenta kilos, entonces en el año 3750 la Tierra entera estará compuesta de carne humana. Pero antes de que inviertas en desodorantes, date cuenta de que la población parará de incrementarse mucho antes de esto ocurra, ya sea por hambrunas, epidemias, calentamiento global, extinciones en masa de especies, aire irrespirable, o, entrando en el reino de la especulación, control de natalidad. No es difícil comprender porqué el físico Albert Bartlett afirma que "la mayor limitación de la raza humana" es "nuestra incapacidad de entender la función exponencial". O porqué Carl Sagan nos aconseja "nunca subestimar una exponencial". En su libro Miles de millones, Sagan da otras deprimentes consecuencias del crecimiento exponencial. Al porcentaje inflacionario del cinco por ciento al año, un dólar valdría sólo 37 centavos después de veinte años. Si un núcleo de uranio emite dos neutrones, y ambos colisionan con otros dos núcleos de uranio, haciéndoles emitir dos neutrones, y así en adelante... bueno, ¿mencioné el holocausto nuclear como un posible fin del crecimiento poblacional?

(*) En inglés americano un m-illón, en vez de ser 10^6m, es 10^3m+3.

Sigue aquí

Viene de aquí 

Los exponenciales son familiares, relevantes, íntimamente conectados con el mundo físico y los miedos y esperanzas humanos. Usando el sistema notacional que discutiré a continuación, podremos nombrar concisamente números que hacen insignificantes por comparación a los exponenciales, que subjetivamente hablando exceden 9^{9^9^9} tanto como éste excede al 9. Pero estos nuevos sistemas podrían pareces más abstrusos que los exponenciales. En su ensayo Sobre el entumecimiento numérico, Douglas Hofstadter lleva a sus lectores al precipicio de esos sistemas, pero entonces asegura que:

Pero dejar el tema es abandonar, no sólo el desafío del mayor número, sino cualquier esperanza de entender cómo los más fuertes paradigmas llevan a los más vastos números. Y así llegamos al temprano siglo veinte, cuando una escuela de matemáticos llamados formalistas buscan colocar toda la matemática sobre rigurosas bases axiomáticas. La pregunta clave para los formalistas fue qué significa la palabra `computable’. Es decir, ¿cómo podemos decir si una secuencia de números puede ser listada por un procedimiento mecánico definido? Algunos matemáticos pensaban que `computable’ coincidía con una noción técnica llamada `recursiva primitiva’. Pero en 1928 Wilhelm Ackermann los refutó construyendo una sucesión de números que es claramente computable, aunque crece demasiado rápidamente para ser una recursiva primitiva.

La idea de Ackermann fue crear una procesión sin fin de operaciones aritméticas, cada una más potente que la anterior. Primero viene la suma. Segundo viene la multiplicación, que podemos pensarla como una suma repetida: por ejemplo, 5×3 significa 5 sumado a sí mismo 3 veces, o 5+5+5=15. Tercero viene la potenciación, que podemos pensarla como una multiplicación repetida. Cuarto viene... ¿qué? Bueno, tenemos que inventar una rara operación nueva, para la potenciación repetida. El matemático Rudy Rucker la llama `tetración’. Por ejemplo, `5 tetrado a 3’ significa 5 elevado a su propia potencia 3 veces, o 5^{5^5}, un número con 2185 dígitos. Podemos continuar. Quinto llega la tetración repetida: ¿podemos llamarla `pentación’? Sexto llega la pentación repetida: ¿`hexación’? Las operaciones continúan infinitamente, con cada una soportada por su predecesora para asomarse incluso más alta hacia el firmamento de los grandes números.

Si cada operación fuese un sabor dulce, entonces la sucesión de Ackermann sería el catálogo de muestras, mezclando un número de cada sabor. Primero en la secuencia está 1+1, o (no contengas la respiración) 2. Segundo está 2×2, o 4. Tercero es 3 elevado a la tercera potencia, o 27. ¡Eh, estos números no son tan grandes!

Cuarto es 4 tetrado a 4, o 4^{4^4^4}, que tiene 10¹⁵⁴ dígitos. Si estás planeando escribir este número, mejor que empieces ahora. Quinto es 5 pentado a 5, o 5^{5^...^5} con `5 tetrado a 4’ numerales en la pila. Este número es demasiado colosal para describirlo en cualquier término ordinario. Y los números se vuelven mucho mayores a partir de aquí.

Esgrimiendo la sucesión de Ackermann, podemos dar palizas a oponentes sin estudios en el desafío de los mayores números. Pero necesitamos ser cuidadosos, dado que hay varias definiciones de la sucesión de Ackermann, no todas idénticas. Bajo el límite de tiempo de quince segundos, aquí está lo que yo podría escribir para evitar la ambigüedad:

Profunda como parece, la sucesión de Ackermann tiene algunas aplicaciones. Un problema en un área llamada la teoría de Ramsey pregunta por la mínima dimensión de un hipercubo que satisface una cierta propiedad. La dimensión correcta se piensa que es 6, pero la más baja dimensión que nadie ha sido capaz de probar es tan enorme que sólo puede ser expresada utilizando la misma `aritmética rara’ que fundamenta la sucesión de Ackermann. En verdad, el Libro Guinness de los récords una vez listó esta dimensión como el mayor número jamás usado en una demostración matemática. (Otro contendiente para el título fue una vez el número de Skewes, sobre 10<sup>10^10^10^3</sup>, que surge en el estudio de cómo los números primos están distribuidos. El famoso matemático G. H. Hardy dijo sarcásticamente que el número de Skewes era "el mayor número que jamás ha servido para algún propósito definido en matemáticas".) Lo que es más, la cabalgata vivamente ascendente de Ackermann hace un cameo ocasional en la ciencia computacional. Por ejemplo, en el análisis de una estructura de datos llamada `Union-Find’, un término se multiplica por la inversa de la sucesión de Ackermann, significando, para cada número entero x, el primer número n tal que el n-ésimo número de Ackermann es mayor que x. La inversa crece tan lentamente como la sucesión de Ackermann original crece rápidamente; para todos los propósitos prácticos, la inversa es como máximo 4.

Continua aquí