Tio Petros

Viene de aquí

Supón que podemos dotar a una máquina de Turing con la habilidad mágica de resolver el problema de la detención. ¿Qué podríamos conseguir? Tendríamos una `super-máquina de Turing’: una con habilidades más allá de cualquier máquina ordinaria. Pero ahora, ¿cómo de difícil es decidir si una super-máquina se detiene? Hmm. Produce que incluso las super-máquinas no pueden resolver su `super-problema de la detención’, por la misma razón que las máquinas ordinarias no pueden resolver el problema ordinario de la detención. Para resolver el problema de la detención para las super-máquinas, necesitamos una máquina incluso más poderosa: una `super-hiper-máquina’. Y para resolver el problema de la detención para la super-hiper-máquina, necesitamos una `super-hiper-mega-máquina’. Y así sucesivamente sin fin. Esta jerarquía infinita fue formalizada por el lógico Stephen Kleene en 1943 (aunque él no usó el término `super-hiper-mega’).

Imagina una novela, la cual está encajada en una novela mayor, la cual está encajada en una novela incluso mayor, y así hasta el infinito. Dentro de cada novela, los personajes pueden debatir los méritos literarios de cualquier subnovela. Pero, por analogía con las categorías de máquinas que no pueden analizarse a sí mismas, los personajes nunca podrían criticar la novela en la que ellos mismos están. (Esto, pienso, hace mofa de nuestra experiencia ordinaria de las novelas.) Para entender completamente algo de la realidad, necesitamos salir de esa realidad. Esa es la esencia de la jerarquía de Kleene: que para resolver el problema de la detención para alguna categoría de máquinas, todavía necesitamos una categoría más poderosa de máquinas.

Y no hay escapatoria. Supón una máquina de Turing con una habilidad mágica de resolver el problema de la detención, y el super-problema de la detención, y el super-hiper-problema de la detención, y el super-hiper-mega-problema de la detención, y así sucesivamente sin fin. ¿Sin duda ésta será la reina de las máquinas de Turing? No realmente. Tan pronto como queramos decidir si una `reina de las máquinas de Turing’ para, necesitaremos una máquina todavía más poderosa: una `emperatriz de las máquinas de Turing’. Y la jerarquía de Kleene continúa.

Pero ¿cómo es esto relevante para los grandes números? Bueno, cada nivel de la jerarquía de Kleene genera una sucesión de castores atareados de crecimiento más rápido que todos los niveles previos. Verdaderamente, cada nivel de la sucesión crece tan rápidamente que sólo puede ser computada por una de mayor nivel. Por ejemplo, define B₂(n) como el máximo número de pasos que una super-máquina con n reglas puede hacer antes de parar. Si esta super-sucesión de castores atareados fuese computable por super-máquinas, entonces esas máquinas podrían resolver el super-problema de la detención. Así que los super-números de los castores atareados crecen demasiado rápidamente para ser computados, incluso si pudiésemos computar los números ordinarios de los castores atareados.

Podrías pensar que ahora, en el desafío del mayor número, podrías borrar del mapa incluso a un oponente que usase la sucesión del castor atareado escribiendo algo como esto:

B₂(11111)

Para exceder los castores atareados de mayor nivel, necesitamos presumiblemente algún modelo informático superior incluso a las máquinas de Turing. No puedo imaginar a qué se parecería ese modelo. Todavía de algún modo dudo que la historia de los sistemas notacionales para los grandes números esté acabada. Quizá algún día los humanos seamos capaces de nombrar concisamente números que hagan parecer al castor atareado 100 tan pueril y divertidamente pequeño como nuestro ochenta y tres del noble. O si jamás nombramos tales números, quizás otras civilizaciones lo hagan. ¿Está en marcha un desafío del mayor número por toda la galaxia?

Continua aquí

Mantendremos la memoria.

Los pueblos felices no tienen historia, pero el nuestro no es un pueblo feliz.

Dedicado a mi amigo Pedro V. L. Por haberme proporcionado la fuente de inspiración de esta serie de posts. Una vez más, gracias.

Una de las cosas que más satisfacción produce en la matemática es la sensación de que las cosas encajan, que son "como debieran ser". El mundo de los objetos matemáticos es coherente consigo mismo, de una forma parecida a lo que lo es el mundo de los objetos reales. No se puede demostrar una cosa y a los meses demostrar lo contrario, porque entonces algo estará equivocado en alguna parte.

A muchos profanos les extrañará saber que una vez que un teorema ha sido demostrado sigue siendo válido e interesante (y muy bien visto)  intentar demostrarlo por otras vías. Estas nuevas vías, al contrario de lo que sucede en el quehacer típico científico, no añaden certidumbre al resultado: un teorema bien demostrado es para siempre (mucho más que cualquier diamante), y no existirá revolución ni cambio de paradigma que lo haga tambalear.

Sin embargo, se considera extraordinariamente meritorio redemostrar un teorema por una vía nueva. ¿Por qué?

La respuesta no es unívoca, y tiene mucho que ver con la verdadera intención de la matemática: llegar a los más íntimos porqués de las cosas.

Toda demostración es incontrovertible si está bien hecha, pero algunas poco nos dicen sobre los porqués de lo que demuestran, como la actual para el Teorema de los cuatro colores. Hablábamos de ello hace dos años cuando repasábamos las diversas formas de demostración matemática. Una demostración espantosamente fea como la relatada aporta toda la evidencia necesaria (si está bien hecha) de la solución: cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa. Pero ¿a quién puñetas le importa el número?

¿Algo cambia en nuestro conocimiento de las cosas si son cuatro y no siete los colores necesarios? Pues si la demostración es una demostración por verificación bien poco va a cambiar en nosotros. Tenemos un dato más, eso es todo. Sin embargo, otra demostración puede ayudarnos a encontrar porqués más profundos, quizás insospechados. Incluso puede que tendamos puentes entre ramas aparentemente alejadas de la matemática, adentrándonos en temas que están conceptualmente muy distantes de los de partida.

En todo caso, la sensación general cuando esto se produce es de que "el edificio esta bastante bien construido", porque las cosas encajan.

Iniciamos esta nueva andadura de Tio Petros con un intento de demostrar por múltiples vías un resultado que sabemos cierto de antemano. Cada nueva demostración nos llevará a una parcela matemática diferente, de forma bastante sorprendente acabaremos en terrenos que no parecen tener conexión con el tema original. La afirmación a demostrar es conocida por todos y no aporta novedad alguna, de manera que todo el interés del asunto está, no en el resultado sino en la forma de demostrarlo.

Se trata de la afirmación de que el número de naturales primos es infinito. Y comenzaremos con la archiconocida pero no por ello menos impresionante y pulcra demostración de Euclides. Lo haremos en el siguiente post.

Iniciamos por tanto una nueva etapa en TioPetros. Espero que les guste.

Continua aquí.

Recordemos nuestro reto: demostrar de varias formas diferentes un mismo resultado: la infinitud del conjunto de números primos. Para la segunda demostración debemos adentrarnos un poquito en la teoría de grupos.

Un grupo no es sino un conjunto con una operación interna que cumple ciertas propiedades. La operación interna es, hablando en plata, una forma de relacionar cada par de elementos del grupo (a,b) con un elemento del grupo, c que también pertenece al grupo.

Dentro de una notación multiplicativa, escribiríamos a · b = c

Pues bien, para que un conjunto G sea un grupo hace falta que dicha operación cumpla un mínimo de tres propiedades, que son:

1.- Propiedad asociativa:

a · ( b · c ) = (a · b ) · c

2.- Existencia de elemento neutro , un elemento distinguido e del grupo que se caracteriza por que operado con cualquier otro elemento lo deja igual:

a · e = e · a = a

3.- Existencia de elemento simétrico para todo elemento del grupo:

Para todo a de G existe un b también de G tal que a · b = b · a = e

A tal elemento b lo llamaremos inverso de a, y podremos expresarlo así: b = a^-1

Siempre que una operación interna en un conjunto verifique estas propiedades estamos ante un grupo. Parece mentira que con tan poca cosa exista una teoría (la teoría de grupos, evidentemente) tan rica e impresionante.

Verán que no hemos definido la propiedad conmutativa (aquello de que el orden de los factores no altera el producto). No lo hemos hecho porque la noción de grupo se definió sin tal operación. Los grupos que la cumplen se llaman grupos abelianos, o grupos conmutativos. Existe un buen motivo para no exigir que un grupo deba cumplir esta propiedad; y es que los que la cumplen son mucho menos interesantes matemáticamente hablando que los que no lo hacen. Así pues, los grupos abelianos son, dentro de la categoría de los grupos, los más triviales y tontorrones.

Pues bien, existen grupos de infinitos elementos (el grupo de los enteros con la operación suma por ejemplo), y otros finitos (el grupo de las clases de restos módulo p). Hablamos de estos en dos post hace más de un año, aquí:

En aquellos posts comentábamos el llamado Teorema de Lagrange, que dice que:

Dado un grupo G de orden n, si H es un subgrupo de G entonces el orden de H, o(H) es divisor de n

Recordemos que el orden de un grupo finito es, simplemente, su número de elementos. Así pues, para que un subconjunto de un grupo sea a su vez un grupo, es necesario (si bien NO ES SUFICIENTE) que su orden sea divisor del orden del grupo grande. Si tenemos un grupo de 8 elementos, puede ser esperable encontrar subgrupos de 1, 2 y 4 elementos, pero jamás de 3,5,ó 7.

¿Intentamos demostrarlo?

Sea G un grupo, y sea N un subgrupo suyo. Denotaremos /G/ al orden de G y (en un alarde de originalidad) /N/ al orden de N .

Consideremos una relación binaria entre los elementos del grupo G, diciendo que los elementos a y b estarán relacionadas sí y sólo si el elemento ab^-1 pertenece al subgrupo N. No hace falta que a ó b sean de N, tan sólo hace falta que ab^-1 lo sea. Para denotar que a está relacionado con b escribiremos a ≈ b

Es fácil comprobar que ésta es una relación de equivalencia. Esto es: que cumple la propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.

En efecto,

a ≈ a, pues a · a^-1 = e, y e debe pertenecer a T si éste último si quiere aspirar a ser grupo, porque debe poseer al elemento neutro. Luego todo elemento está relacionado consigo mismo y se cumple la propiedad reflexiva.

Por otro lado, a ≈ b implica que ab^-1 pertenece a T, pero como T es un grupo su inverso (ab^-1 )^-1 =ba^-1 también pertenererá a T, y por ello tendremos que b≈a; y se cumple la simétrica.

Para terminar, si a ≈ b y b ≈ c, entonces ab^-1 y bc^-1 pertenecen a T. Demostrar que a está necesariametne relacionado con c es sencillo de demostrar teniendo en cuenta que por ser T un grupo, el producto de ab^-1 y bc^-1 también pertenecerá a T, y (ab^-1) ·( bc^-1) = a · (b^-1 · b) · c^-1 = ac^-1. Luego cumple la transitiva y hemos demostrado que efectivamente estamos ante una relación de equivalencia.

Pues bien, como sabemos, una relación de equivalencia hace cristalizar en el seno del conjunto en el que está definida una partición del mismo en clases de equivalencia. Dentro de cada clase, todos los elementos están relacionados entre sí.

¿Cómo son estas clases de equivalencia en nuestro caso?

Dado un elemento a de G, todos los elementos relacionados con él mediante la relación arriba definida son de la forma (b · a), siendo b cualquier elemento del subconjunto T. A riesgo de ser reiterativo:

Si un elemento x pertenece a la misma clase que uno dado a, entonces x puede expresarse siempre como la operación algún elemento del interior de T con el propio a. (Querido lector, no siga adelante sin entender esto; en este paseo no tenemos prisa alguna)

Demostrar esto es sencillo: que x y a estén relacionados implica que x · a^-1 es igual a algún b de T por definición de la relación.

x · a^-1 = b

x · a^-1 · a = b · a

x · e = b · a

x = b ·a , como queríamos demostrar.

Estamos muy cerca del final: si la clase de equivalencia de cualquier elemento a del grupo G es el conjunto de los elementos de la forma b ·a, siendo b en elemento de T, entonces en cada clase habrá tantos elementos como en el propio T, y por lo tanto en número de elementos de todo G será múltiplo del número de elementos de T.

Con lo que el teorema queda demostrado.

Un tipo de grupos muy especiales son los llamados grupos cíclicos que son aquellos que se generan por uno sólo de sus elementos operado consigo mismo. Hablamos de ellos en los dos posts enlazados más arriba. Sería interesante un recuerdo de lo que decíamos entonces para entender en toda su profundidad lo que seguirá.

En estos grupos cíclicos, (y esto es importante para lo que seguirá) orden del grupo es el número de veces que un elemento se puede operar consigo mismo hasta conseguir el neutro.  A veces, se necesitan tantas veces como elementos tiene el grupo. Esto quiere decir que cada vez obtenemos un elemento diferente, y cuando llegamos al neutro hemos pasado por todos. En este caso, el grupo se denomina monógeno, porque es engendrado por uno sólo de sus elementos.

Un resultado es crucial para nuestros propósitos:

1.- El orden de un elemento es siempre divisor del orden del grupo entero. 

Esto es evidente en cuanto comprobamos que el conjunto de todos los engendrados por un elemento es un subgrupo, y aplicamos el teorema de Lagrange. 

P.S. Ahora podemos acometer la segunda demostración de infinitud de la cantidad de números primos. ¿Quién iba a decir que necesitaríamos nociones de teoría de grupos para hablar de primos?

Sigue aquí

Viene de aquí

Con el bagage que hemos conseguido en el post anterior, atacamos una segunda demostración de la infinitud de los números primos.

Supongamos lo contrario de lo que deseamos demostrar: Supongamos que el conjunto de primos es finito, siendo p el mayor de todos ellos.

Consideremos el número x = 2^p -1.

Está claro que x es mayor que p, por lo que no podrá ser primo. Si lo fuera ya estaría demostrada la falsedad de nuestra suposición.

Así pues, x debe ser un número compuesto (esto es: tiene divisores distintos de sí mismo y de la unidad). Llamemos q a uno de sus divisores primos. Si q divide a 2^p -1, (esto es: dividiendo 2^p -1 entre q obtenemos resto nulo) entonces al dividir 2^p ( que es una unidad más grande que 2^p -1) entre q nos dará 1 de resto. Diremos que 2^p en congruente con 1, módulo q, y lo expresaremos así:

2^p ≡1 (mod q)

Las congruencias fueron introducidas en este blog cuando hablábamos del calendario. El lector interesado puede echar una ojeada a aquel post.

Centrémonos en el conjunto Z_q de restos módulo q. Este conjunto está formado por q elementos, cada uno de los cuales es una clase de equivalencia. El [0] es el elemento nuetro de la suma definida en Z_q, y el [1] lo es en el producto.

El conjunto de las clases Z_q de restos módulo q con las operaciones suma y producto es un cuerpo, y por lo tanto el conjunto Z_q -{0} con la operación producto es un grupo. Este grupo tiene (q-1) elementos.

Volvamos a la congruencia arriba indicada, cuya trascendentalidad en la demostración está indicada por el color rojo sangre con el que ha sido escrita:

2^p ≡1 (mod q)

¿Qué quiere esto decir?

Vamos a por la tercera forma diferente para demostrar la infinitud de los números primos. Esta vez recorreremos un sendero completamente diferente. Nos basaremos en los números de Fermat, tocando para ello otro de los tópicos más queridos de los amigos de la teoría de números.

Los números de Fermat son enteros que se expresan así:

F_n = 2²ⁿ +1 ; n=0,1,2,...

Los primeros números de Fermat son: 3,5,17,257,65537,... y como es de esperar, crecen a un ritmo vertiginoso.

Demostraremos que dados dos números de Fermat F_{m y} F_n cualesquiera, ambos son siempre primos entre sí (lo que quiere no decir que ambos sean primos, sino que no tienen divisores comunes).Para hacerlo, demostraremos la siguiente relación de recurrencia (absolutamente inesperada y sorprendente, al menos para un mortal como quien esto escribe):

Fíjense lo rápido que crecerá la progresión si cada término es tan sólo dos unidades menor que el producto de todos los anteriores!

Demostraremos esta barbaridad por inducción. Si recuerdan, hablamos claro y tendido de este tema aquí .

Para n=1 la cosa es trivial:

F₀ = F₁ -2 se demuestra cierto por simple comprobación de que F₀ =3 y F₁ = 5

Supongamos cierta para n-1, e intentemos demostrarlo para n, en cuyo caso la inducción estará completa.

F_0·F₁·F_2·...·F_n = (F_0·F₁·F_2·...·F_n-1 )· F_n = (F_n-2) · F_n =

=(2²ⁿ +1 - 2 )·(2²ⁿ +1) = (2²ⁿ -1) · (2²ⁿ +1) =

= (2²ⁿ⁺¹ - 1) = F_n+1 - 2

Con lo cual queda demostrada la recurrencia original F_0·F₁·F_2·...·F_{n-1 =} F_n - 2

¿Cómo nos puede servir este resultado para nuestros propósitos? Debemos fijarnos que a la izquierda de la fórmula de recurrencia tenemos simplemente el producto de todos los números de Fermat menores que F_n , y a la derecha tenemos un número necesariamente impar. Efectivamente F_n - 2 = 2²ⁿ +1 - 2 = 2²ⁿ - 1, que es necesariamente impar.

Por lo tanto, todos los factores que componen los números de Fermat son impares.

Ahora, de la relación de recurrencia se sigue inmediatamente que ningún número de Fermat F_k es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Sólo podría ser divisible por el 2, pero hemos visto que todos ellos son impares, luego eso no se puede dar. Entender esto puede albergar algúna dificultad, pero es perfectamente salvable. Viendo la fórmula de recurrencia que ahora hemos demostrado cierta, un número de Fermat podría parecer divisible por dos (sabemos que no lo es por el razonamiento arriba indicado), preo si lo fuera, el número una vez dividido quedaría algo como así:

F₀·F₁·F₂·...·F_n-1 + 2 ₌ F_n

F₀ · ... · F_i /2· ... · F_n-1 + 1 ₌ F_n /2

Donde uno de los factores (el i-ésimo, el que era supuestamente par) ha sido dividido por 2. Ahora vemos que no podemos seguir dividiendo por ninguno de los factores restantes, porque siempre obtendremos un 1 de exceso como resto. De ello se deduce que, dados dos números de Fermat, o tienen el 2 como divisor común, o no tienen ninguno. dado que sabemos que son impares, queda aclarada la cuestión.

Así pues, cada número de Fermat aporta divisores primos nuevos a la lista, nunca aportados por sus antecesores, y como la lista de números de Fermat es infinita ( ¡hay un F_n para cada n natural!), se sigue que la de primos también lo es. Con esto termina la tercera demostración de infinitud de los primos.

Debemos constatar que en ningún sitio se ha dicho que los propios números de Fermat deben ser primos. Tan sólo nos basta que sean primos entre sí.

De hecho, Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran primos, pero Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que siendo número de Fermat , no es primo.

A diferencia del segundo método del post anterior, que necesitaba ciertos conocimientos de teoría de grupos, éste es totalmente elemental en el sentido de que sólo necesita machacar números. Conviene recordar algo que hemos repetido hasta la saciedad en este blog: en matemáticas la palabra elemental y la palabra fácil son conceptos totalmente diferentes. De hecho, es muy habitual encontrarse con demostraciones elementales dificilísimas. Erdös era un maestro en este arduo campo...

Vamos dar otra vuelta de tuerca a las demostraciones de la infinitud de números primos. Esta vez utilizaremos herramientas más analíticas, sumergiéndonos en la teoría de series. Mucho hemos hablado de las series a lo largo de casi tres años de vida del blog, y en parte nos apoyaremos en lo dicho. A diferencia de la mayor parte de los posts de Tio Petros, éste requiere unos ciertos conocimientos previos: la suma de los infinitos términos de una serie geométrica, y el teorema de Taylor.

Se trata de demostrar algo incluso más fuerte que la infinitud de los números primos: la convergencia de la suma de sus inversos. (¿Porqué esta convergencia decimos que es más fuerte?)

La primera demostración de esta convergencia fue dada por Euler y es básicamente la que presentamos aquí.

Dado que la afirmación es mucho más fuerte que la mera finitud de los primos, será un poco más difícil, pero este es un paseo que podemos hacerlo hasta el final, si tienen la paciencia de acompañarme. 

En su día hablamos largo y tendido sobre la divergencia de la serie armónica aquí y aquí con la demostración que los Bernoulli ofrecieron de este importante resultado de teoría de series, y aquí dimos una demostración moderna y pormenorizada.

No es nada trivial el hecho de que la suma infinita de los inversos de los naturales (serie armónica) sea divergente. De hecho, la suma crece con desesperante lentitud. Sin embargo, podríamos preguntarnos, una vez sabido que diverge, qué cantidad de sumandos podríamos eliminar sin que cambiara la condición de serie divergente. La respuesta es paradójica: si mantenemos uno de cada n, por muy grande que sea n, la suma seguirá siendo infinita (¿comprende el lector el porqué?).

Así pues, debemos eliminar más elementos que todos excepto uno de cada n. Bastaría por ejemplo dejar tan sólo los de los puestos n² -ésimos. Dejar sólo estos es dejar menos que uno de cada n, porque al tener una función cuadrática, se va volviendo mucho más "enrarecida" que cualquier función lineal.

¿Y si dejamos sólo los primos? Al fin y al cabo, los primos se hacen cada vez más raros, parecido a los n² -ésimos números naturales. El resultado nada trivial es que la serie que queda al quitar todos los no primos sigue siendo divergente a infinito: la rareza de primos dentro de N es suficiente para dar la divergencia.

Nuestra próxima misión será demostrarlo.

Euler estaba trabajando con la función que muy posteriormente se llamaría función zeta de Reimann, que no es sino esta:

Tras su engañosa simplicidad se esconde el que fué catalogado como más complejo de los objetos matemáticos, antes de que los fractales y algunos otros conceptos más modernos le quitaran el honor. Aquí narramos en su día que hallar el valor de esta función para s=2 fué un logro sólo al alcance de una mente como la de Euler, y aquí contamos pormenorizadamente cómo lo consiguió.

Fué también el príncipe de los matemáticos el que descubrió una insospechada conexión entre la función zeta y los números primos, conexión que utilizó para demostrar, en un alarde de ingenio sin par que la serie de los inversos de los primos diverge.

La conexión encontrada es la siguiente:

Intentaremos a continuacón desmenuzar esta afirmación (pues de eso se trata: de una afirmación). Los miembros primero y segundo son simplemente la definición de la función zeta. El tercero es una definición alternativa. Mientras que en la definición original tenemos un sumatorio extendido a los números naturales, en el segundo tenemos un producto extendido sólo a los primos. ¿Cómo puede afirmarse que ambos términos son iguales? ¿Qué tipo de extraña sustitución algebráica hay que efectuar para pasar del dominio de los naturales al dominio de los primos?

No se trata de ningún manejo mecánico de álgebra, sino que es una finta genial. Para empezar, trabajemos un poco con el término tras el símbolo del producto. Tenemos :

Efectivamente, la fracción dada nos está diciendo el valor de la suma de una serie geométrica de primer término unidad y razón 1/p^s. Así pues el producto infinito, si ya no tenía buena pinta, ahora la tiene peor:

Este producto infinito de sumas infinitas será igual a infinitos sumandos seguidos. ¿Cómo se forma  cada sumando? Pues tomando un término del primer paréntesis, otro del segundo, y así hasta el infinito y efectuando el producto. Elegir un término de cada paréntesis equivale a elegir un exponente para cada posible número primo, pues cada paréntesis se refiere al primo k-esimo, y cada término se refiere al exponente. Si no queremos ningún exponente para el k-ésimo primo elegiríamos el sumando unidad del paréntesis correspondiente. Así pues, obtenemos siempre una ristra de primos diferentes, cada uno de ellos elevado a un múltiplo negativo de s. En suma: obtenemos un número natural cualquiera elevado a -s. Dado que cada natural se expresa de una única forma como una combinación de primos con determinados exponentes, y cada combinación de primos con determinados exponentes expresa un único natural, concluimos sin necesidad de hacer más operaciones que la intuición de Euler debe ser necesariamente correcta, y que

Quedando definitivamente:

Donde el producto recorre los primos y el sumatorio todos los naturales.

Tenemos todo el puzzle montado. Sólo falta la puntilla, y la daremos en el siguiente post. Pero eso será la semana que viene. Feliz fin de semana a todos los lectores de Tio Petros.

Viene de aquí_

Estamos intentando demostrar que los primos son infinitos en base a demostrar la divergencia de la suma de sus inversos, siguiendo los pasos del gran Euler. Lo estamos haciendo pasito a pasito,ocupando dos posts extensos donde estrictametne hablando sólo son necesarias unas pocas líneas. Lo hacemos con la esperanza de hacer asequible a más personas un paseo matemático de cierto nivel. Espero que el resultado sea provechoso.

Recordemos que en el post anterior habíamos llegado a la siguiente fórmula:

Tomamos logaritmos a ambos lados de la expresión anterior:

Ahora nos conviene sustituir la función log(1-x) por su desarrollo en serie de Taylor; donde x = 1/p^s < 1/2.  Haciendo dicha sustitución y englobando los términos a partir del segundo en un resto R(1/p^s) ≈ O(1/p^s₎2 obtenemos:

Hagamos s→1. El primer término del segundo miembro es el logaritmo de la serie armónica y por lo tanto es infinito. El segundo término está sin embargo acotado en virtud del orden cuadrático del resto, por lo tanto la suma total es infinita, y de ello deducimos que el primer miembro, que no es sino la suma de los recíprocos de los primos, también es infinita.
Evidentemente esto sólo puede ocurrir si el número de primos es a su vez infinito.

A modo de nota al margen, la posible convergencia de esta suma de recíprocos no hubiera demostrado la finitud de los primos, mientras que la implicación contraria está clara. Un caso de este estilo es el que ocurre con los primos gemelos, que son aquellos primos que distan dos unidades, como el 3 y el 5. Se sabe que la suma de sus recíprocos es convergente, pero aún se desconoce si existen infinitos de ellos. En su día hablamos de ello aquí

En los próximos días hablaremos de otra demostración de lo mismo (de momento la última). Esta es verdaderamente sorprendente, porque utiliza argumentos exclusivamente topológicos (¿Me lees, Lola?).

Al igual que ésta, la desmenuzaremos hasta el límite, necesitando para ello otros dos post. Espero que el paseo les resulte agradable.

Esto fué para mi una enorme sorpresa. Debo decir que mi capacidad de sorpresa es grande, debido quizás a la vastedad de mi desconocimiento. Invocar a la topología para demostrar que son infinitos los números primos me parece un ejemplo exquisito de lo que perseguimos con esta serie de post y que venimos repitiendo desde el inicio de la serie: la sensación de que "todo cuadra", de coherencia interna de la matemática nos produce una sensación de plenitud.

EN 1.955 Harry Fürstenberg, un matemático de la Universidad Hebrea de Jerusalén sorprendió al mundo matemático con esta demostración topológica de la infinitud de los números primos.

El propósito de los dos posts siguientes es explicarlo todo de una forma pormenorizada. Recuerden que esto es un paseo, no una escalada. Cualquiera de las demostraciones aquí citadas cabe en dos renglones...pero este no es un blog para matemáticos, sino para paseantes, de modo que disminuiremos la pendiente a costa de alargar el recorrido.

Como ya saben, (y si no lo saben, consulten aquellos post de hace año y medio en los que hablábamos de topología), una topología sobre un conjunto parte de la consideración de ciertos subconjuntos como subconjuntos distinguidos. El motivo de la distinción es arbitrario mientras se cumplan tres propiedades que el desarrollo histórico de la matemática ha demostrado que eran las justas para conseguir lo que se pretendía.

Esas tres propiedades son:

1.- El conjunto vacío es un subconjunto distinguido.

2.- La intersección finita de subconjuntos distinguidos es un subconjunto distinguido

3.- La unión arbitraria de subconjuntos distinguidos es un subconjunto distinguido.

A estos conjuntos distinguidos se les llama abiertos, si bien podríamos haber seguido llamándolos distinguidos, topológicos o verdinegros; poco importa el nombre.

Aunque las nociones topológicas están íntimametne unidas a las nociones de continuidad, y éstas a las de los conjuntos continuos (en oposición a los discretos), podemos definir una topología sobre cualquier conjunto imaginable. Concretamente sobre el conjunto Z de los enteros. Hagámoslo.

Para cada par de enteros (a,b) de Z, definimos el conjunto

Z_{a, b} = {a + kb | k pertenece a Z}

Cada uno de estos conjuntos no es sino una sucesión de doble dirección (infinita hacia ambos lados), con un elemento igual a a, y a partir de él sumando y restando de b en b hacia +∞ y hacia -∞.

Pues bien; llamaremos abierto a un A subconjunto de Z si se dan alguna de estas dos circunstancias:

1.- A es el conjunto vacío

2.- Para cada a de A existe un b>0 tal que Z_{a, b} pertenece a A.

La segunda merece una pequeña reflexión: ¿qué quiere decir exactamente?

Veámoslo con un conjunto Z_{a, b} concreto, por ejemplo Z_{2, 7} .Tenemos que

Z_{2, 7} ={...,-12, -5, 2, 9,16, 23, 30, ...}

Tomando cualquier a número de Z_{2, 7,} vemos que cualquier b múltiplo de 7 el que necesitamos para que Z_{a, b} esté incluido en Z_{2, 7}. Así pues, todo conjunto de la forma Z_{a, b} es un abierto.

Si tuviéramos un subconjunto de Z formado por la unión de un número indeterminado de conjuntos del tipo Z_{a, b} entonces también se cumpliría la segunda propiedad, porque dado un a_i de dicho conjunto, bastaría encontrar el valor de b_i correspondiente según el conjunto Z_ai,bi .

Poco cuesta convencerse de que esta definición de conjuntos abiertos cumple las tres propiedades de los "conjuntos distinguidos" que mencionábamos más arriba. Por lo tanto, forman una topología sobre Z.

Llegados a este punto, debemos fijar nuestra atención en dos propiedades que cumplen los abiertos de esta topología:

1.- Todo abierto distinto del vacío es infinito.

2.- Todo abierto de la forma Z_{a, b} también es cerrado.

La primera es evidente dada la definición de abierto dada al principio. Para la segunda debemos apoyarnos en el hecho de que un Z_{a, b} no es sino el conjunto Z completo ¡al que se le han quitado los elementos sobrantes, y que dichos elementos sobrantes pueden expresarse como nuevos conjuntos de la forma Z_{a, b} . Lo vemos en la ilustración siguiente con un ejemplo, y luego generalizamos:

Cumplamos con lo prometido en el post anterior.

Habíamos demostrado dos propiedades importantes en la topología en la que estábamos trabajando:

1.- Todo abierto no vacío es infinito

2.- Todo conjunto de la forma Z_a,b es cerrado, además de abierto.

Según esto, nada nos costará convencernos de que el conjunto formado por los puntos 1 y -1; B={-1,1} no puede ser abierto: es un conjunto finito (sólo tiene dos elementos), y todo abierto diferente del vacío es infinito según la propiedad 1.

Por otro lado, estos dos enteros (el -1 y el 1) son los únicos con los que nos quedaríamos si al conjunto Z le vamos quitando conjuntos de la forma Z_0,p con p, primo mayor que la unidad. En efecto, cada Z_0,p no es sino el conjunto de los múltiplos del primo p, con el cero incluido. Recorriendo todos los primos está claro que nos llevamos todo el Z excepto precisamente los dos puntos citados -1 y 1.

Ahora bien, todos los citados Z_0,p son cerrados por la propiedad 2, y si efectuamos una suma finita de cerrados, seguimos teniendo un cerrado. La única forma de mantener la posibilidad de que {-1,1} no sea abierto es que la unión de todos los Z_0,p no sea cerrada; y para que esto ocurra es necesario que la unión sea infinita. (Recordemos que la unión de infinitos cerrados sí puede ser abierta).

A riesgo de ser repetitivo, y para que se entienda bien, lo volvemos a explicar: si el conjunto de primos fuera finito, entonces la suma de todos los Z_0,p sería un cerrado, y {-1,1}, por ser complementario de un cerrado, sería un abierto; en franca contradicción de la propiedad 1, que nos asegura que {-1,1} no puede ser abierto por ser finito diferente del vacío.

Luego el conjunto de los números primos es infinito.

Es sorprendente la manera que tienen los números primos de entrar en este discurso. En todo el post anterior no hicieron acto de presencia, y ahora , de un plumazo los tenemos encima. ¿No podríamos haber hecho lo mismo con conjuntos N_0,p en los que p no fueran precisamente primos?

Algún lector se anima a responder a esta pregunta?

Technorati Profile