Tio Petros

Una vez más, nuestro colaborador Jorge Alonso nos proporciona un artículo lleno de interés. En este caso se trata de sistemas de numeración; una extrapolación a lo inhabitual llena de sentido y coherecia. Les dejo con él: que lo disfruten.

TioPetros

Imaginemos que existe un zoo en los que podemos contemplar los sistemas posicionales de bases de numeración. Demos un paseo por él.

Nada más empezar están los especímenes más conocidos, la base decimal, la binaria y la hexadecimal:

A continuación, están los sistemas basados en una base negativa, gracias a lo cual se pueden representar los números enteros sin tener que indicar su signo. Veamos la base -2:

Observemos cómo los enteros negativos tienen un número par de dígitos, y los enteros positivos un número impar.

Seguimos, y nos encontramos con bases que no son números enteros.

Para comenzar tenemos la base racional 1/10, en la que para convertirla a decimal basta con invertir los dígitos:

Le sigue la base irracional , en la que los números son los mismos que en base 10, pero añadiéndoles ceros entre sus dígitos:

Y ahora, la base , en la que sólo empleamos los dígitos 0 y 1:

Debido a su propiedad , concluimos que en esta base 11=100. Es decir, un mismo número puede representarse de dos formas distintas. Pero recordemos que eso mismo también ocurre en nuestra base diez: 1=0,9999...

Sigamos adentrándonos en el zoo, y vemos ahora la base imaginaria 2i, que emplea los dígitos 0, 1, 2 y 3, y es capaz de representar cualquier número complejo sin ni siquiera tener que indicar su signo:

Cambiando totalmente la dirección de nuestro paseo, llevamos nuestros pasos junto a la base de numeración más antigua y simple, la base 1:

El siguiente sistema posicional más antiguo conocido es el babilónico, de base 60.

Y cerca está la numeración maya. Utilizaban base 20, excepto en astronomía, en la que a partir del tercer dígito en adelante un 20 es cambiado por un 18 (es decir, los multiplicadores son 1, 20, 18×20, 18×20², 18×20³...):

Seguimos, y podemos ver otro sistema de base múltiple, pero que empleamos diariamente: 4 semanas, 5 días, 9 horas, 26 minutos y 8 segundos, son 4₇5₂₄9₆₀26₆₀8 = 2885168 segundos.

Vemos también la base factorial:

Volvemos a cambiar la dirección de nuestros pasos. Hasta ahora, en una base cualquiera b se usan los dígitos 0, 1, 2 y siguientes hasta b-1; en caso de quedarse sin dígitos, se usan letras.

El siguiente espécimen es la base 10 sin cero, en la que para compensar esta carencia se utiliza A=10:

La ya vista base 1 es otro caso de base sin cero.

Igualmente, podemos desplazar la serie de dígitos en sentido contrario, y tener algunos de ellos siendo negativos.

Para la base 3, podemos observar los especímenes basados en (1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, 0, 1) y (-2, -1, 0). Fijémonos en el caso de base 3 balanceada:

Una aplicación común de este último es en balanzas de dos platillos, con pesas que sean múltiplos de 3.

En la base 4 con los dígitos , los números y corresponden ambos al 6.

Después de esto, vienen las bases que emplean más cantidad de dígitos que lo que indica la propia base, que tienen el inconveniente de que los números pueden tener múltiples representaciones. Contemplemos la base 2 con (-1, 0, 1):

Lo siguiente son bases cuyos dígitos no son exclusivamente números enteros, pudiendo tener dígitos que representen números racionales, irracionales, complejos...

Llegamos al final de nuestro paseo y, llevando la vista atrás, sólo nos queda recordar que todos estos sistemas pueden mezclarse entre sí...

Fuentes documentales

Artículos de la Wikipedia sobre Non-standard positional numeral systems.

Hay muchos tipos de libros, pero como recordaba Carl Sagan, una vida humana es excesivamente corta para leer una fracción infinitesimal de lo que se publica y hay que elegir. La primera clasificación, obvia donde las haya, es la que separa lo publicado en dos bloques: lo que me interesa y lo que no me interesa. Así no hacemos juicios de valor sobre las obras.

Dentro de lo que me interesa, una separación muy personal pero clara es la siguiente: lo que es accesible para mí y lo que no lo es. Aquí entramos en un terreno muy personal en el que la disponibilidad de tiempo, mi propia preparación, mis prioridades y mi economía tienen mucho que decir. Escojamos pues lo que me interesa y es accesible para mí.

En este clado existen libros que puedo leer en cualquier lugar y libros para los que necesito una cierta parafernalia exterior: hay libros que sólo puedo leer bajo un flexo, envuelto en humo de tabaco y en silencio absoluto e incluso con papel y lápiz cerca para tomar notas; otros son lecturas de verano en tumbona bajo una sombrilla (nunca a pleno sol, por favor).

En este punto la clave de clasificación personal de libros que les muestro, deja de ser dicotómica y se vuelve multivariante. Tengo libros de escritorio, libros para leer en la cama, libros de tumbona, de taberna y de transporte público. Pero quisiera hablar de un tipo de libros que tengo reservado para uno de mis lugares preferidos; el sancta sanctorum del lector: el cuarto de baño.

En mi taxonomía libresca privada clasificar un libro como libro de cuarto de baño es decir mucho sobre el ejemplar en cuestión, y todo bueno: debe ser un libro ágil; de capítulos cortos para poder leer uno entero en el tiempo racional que uno pasa en dicho lugar; debe ser interesante y debe no encajar exactamente en ninguna de las clasificaciones anteriores. Este último punto es importante, porque estoy muy influído por mis lecturas de biología y siempre me ha fascinado la taxonomía y en particular el esfuerzo humano por clasificar la diversidad biosférica en clados anidados, de manera que un clado nunca pertenezca sino a uno y sólo uno de los clados superiores. Así pues, no son para mí libros para leer en ningún otro lugar; y por lo tanto a pesar de lo aparentemente escatológico del asunto este taxón es de absoluta excelencia en lo que a mi respecta. Pocos libros merecen tal categoría.

Así pues, hablemos de los libros para leer en el cuarto de baño. Libros para aprovechar, saborear y disfrutan en cortos espacios de tiempo. Libros cuyos capítulos son joyas que merecen el reposo y la soledad de estos momentos íntimos e intransferibles.

Mi libro actual en estas circunstancias es " Ideas para la imaginación impura ", 53 reflexiones en su propia substancia, de Jorge Wagensberg.

El autor nació en Barcelona en 1948, es licenciado y doctor en Física por la Universidad de Barcelona y profesor de Teoría de los Procesos Irreversibles en la Facultad de Física de dicha universidad, donde dirige un grupo de investigación en biofísica. Es autor de múltiples trabajos científicos aparecidos en publicaciones especializadas internacionales y de una extensa obra de difusión científica hacia otros dominios de la cultura. En 1980 publicó el libro Nosotros y la ciencia (Bosch Editor) y en 1985 Ideas sobre la complejidad del mundo (Tusquets Editores). En 1983 crea la colección de pensamiento científico «Metatemas», también de Tusquets, y desde el año 1991 es director del Museo de la Ciencia de la Fundación ‘la Caixa’.

Tras este cúmulo de avales uno no toma este librito sin esperar algo de mucho interés; de forma que la exigencia a priori es alta. Cincuenta y tres reflexiones en 276 páginas hacen que cada reflexión sea muy cortita en extensión y muy fácil de leer, pero cada una de ellas está llena de bellas implicaciones y reflexiones profundas que se pueden aborar a posteriori. En ellas se muestra al científico como un ser ávido de reflexión y buscador impenitente de fuentes de inspiración en cualquier acontecimiento diario apartentemente trivial.

Un libro en suma excepcional por su interés, digno de un autor que ha demostrado largamente su potencia de divulgador a la vez que su talla de científico, un autor que tituló a otra de sus obras con uno de los títulos más sorprendentes y maravillosos que haya visto nunca; con una frase digna del mejor koan zen: "Si la naturaleza es la respuesta, ¿cuál era la pregunta?" (Colección Metatemas, nº 75; Tusquets editores).

FICHA DEL LIBRO:

TITULO:"Ideas para la imaginación impura, 53 reflexiones en su propio jugo"

AUTOR: Jorge Wagensberg

COLECCIÓN METATEMAS

EDITORIAL: Tusquets Editores